الاحصاء الجزء الرابع

الارتبــاط





* تعريف الارتباط

الارتباط هو علاقة بين متغيرين ،أو أكثر ،ويقاس الارتباط بمعامل الارتباط "ر" حيث -1 ر 1



* أنواع الارتباط

1- طردى: صفر > س 1.

2- عكسى: -1 س < صفر.

ملاحظات

1- إذا كان ر = صفر لا ارتباط

2- إذا كان ر = 1 ارتباط طردى تام

3- إذا كان ر =-1 ارتباط عكسى تام



* درجات الارتباط

1- ضعيف: صفر > ر > 0.4 أو -0.4 > ر > صفر.

2- متوسط: 0.4 ر 0.6 أو -0.6 ر -0.4.

3- قوى: 0.6 > ر< 1 أو -1 > ر > -0.6



* معامل ارتباط بيرسون


حيث ن عدد قيم كل من المتغيرين ولإيجاد معامل الارتباط بهذه الطريقة نكون جدولاً من 5 أعمدة وهى س، ص ،س ص ،س2 ،ص2


مثال1

من بيانات الجدول الآتى، أوجد معامل ارتباط بيرسون بين قيم س، ص مبيناً نوعه ودرجته.






الحل


ن = 7




ر= 35 ÷ ( (112) x (96) ) = 0.34 طردي ضعيف




معامل ارتباط الرتب لسبيرمان



* معامل ارتباط الرتب لسبيرمان

فى هذه الطريقة نوجد معامل الارتباط بين رتب القيم ، وليس بين القيم نفسها.



خطوات الحل
1-نرتب كل من أزواج القيم بنفس الترتيب

(تنازلياً معاً أو تصاعدياًّ معاً).



مع ملاحظة أنه إذا اشترك اثنان أو أكثر فى رتبة تعطى لكلًّ منهما المتوسط الحسابى لهذه الرتب.

2- 2- نكون جدولاً من أربعة أعمدة وهى: رتب س، رتب ص، ف، ف2 حيث ف تعنى الفرق المطلق بين الرتب.

3- نستخدم القانون:


حيث ن عدد الأزواج المرتبة

تمارين متنوعة





مثال 1

من بيانات الجدول الآتى:




احسب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان بين س، ص.



الحل

ن = 6







ر = 1-( 6 × 49.5) ÷ (6 ×35)

ر = -0.41 ضعيف



مثال 2

من بيانات الجدول الآتى:




1- أوجد معامل ارتباط بيرسون.

2- أوجد معامل ارتباط الرتب لسبيرمان.

3- قارن بين معامل الارتباط فى الحالتين.



الحل



1- بيرسون:


ن = 6








2 - سبيرمان:


ن = 6








3- قيمة ر فى الحالتين متقاربة ولكن ليست متساوية.



مثال 3

إذا كان مجـــ س = 14، مجـــ ص = 9،

مجـــ س ص = 192، مجــ س2 = 252

مجـــ ص2 = 171 ، ن = 7

أوجد: معامل ارتباط بيرسون.



الحل



ر = 0.9










خط الانحدار




* الانحدار



إذا كان الارتباط قوياً قربت قيم المتغيرين من خط مستقيم يمثل العلاقة بينهما يسمى خط الانحدار

طريقة المربعات الصغرى





* شكل الانتشار

هو مجموعة منفصلة من النقط (أزواج مرتبة بين س، ص) ممثلة بيانياً فى المستوى حيث يمثل المحور الأفقى قيم أحد المتغيريين وليكن س ويمثل المحور الرأسى قيم المتغير الآخر ص فنحصل على شكل يوضح انتشار النقط فى المستوى يسمى شكل الانتشار وباستخدام طريقة المربعات الصغرى، يمكن إيجاد معادلات الانحدار.




* معادلة خط انحدار ص على س (لتقدير قيمة ص عند أى قيمة لـ س )

ص = أ س + ب حيث أ ميل المستقيم ( معامل انحدار ص على س )،

ب هو طول الجزء الذى يقطعه المستقيم من المحور الرأسي




طرق مختصرة لإيجاد خطوط الانحدار



* معادلة خط انحدار س على ص (لتقدير قيمة س عندأى قيمة لـ ص
س = جـ ص + د




العلاقة بين معامل الارتباط ومعاملى الانحدار



ر2 = أجـ

حيث " ر " تأخذ نفس إشارة كل من أ ، جـــ.



ملحوظة

عند إيجاد معادلات الانحدار، نكون جدولاً من 5 أعمدة وهى س، ص، س ص، س2، ص2.

أمثلة متنوعة





مثال1

1- إذا كان معامل انحدار ص على س هو -0.25، معامل انحدار س على ص هو -0.81. أوجد معامل الارتباط الخطى بين س، ص وحدد نوعه.



الحل

أ= -0.25 جـــ = -0.81

ر2 = أجـ = -0.25 × -0.81 = 0.2025

= -0.45 ارتباط عكسى متوسط.



مثال2

إذا كان معامل انحدار س على ص هو 1.21، معامل الارتباط الخطى بين س، ص هو 0.33 أوجد معامل انحدار ص على س.



الحل

جــــ = 1.21 ر = 0.33

ر2 = أجـ

أ = (0.33)2 ÷ 1.21 = 0.09.



مثال3

من بيانات الجدول الآتى:



أ- قدر قيمة س عندما ص = 5 باستخدام معادلة انحدار مناسبة.

ب- أوجد معادلة خط انحدار ص على س.

جــ- أوجد معامل الارتباط الخطى بين س، ص باستخدام معاملى الانحدار.

د- أوجد معامل ارتباط بيرسون.

هـ- قارن بين النتيجة فى جــ، د.

الحل



ن = 6

أ) س = جــ ص + د



د = 10.43

س = -1.63 ص + 10.43

عندما ص = 5 س = -1.63×5 + 10.43 = 2.28.



ب) ص = أس + ب





ب =

ب =

ب = 6.31

ص = -0.595 س + 6.31



جـ ) ر2 = أجـ

= - 0.595 × -1.63

ر2 = -0.98 .



د)





هـ ) قيم ر الناتجة فى جــ، د متساويتين.



مثال 4

إذا كان مجـــ س = 50، مجـــ ص = 60،

مجـــ س ص = 361، مجـــ س2 = 310،

مجـــ ص2 = 498، ن = 10.

أوجد

أ- معادلة خط انحدار ص على س

ب- تقدير قيمة س عندما ص = 8



الحل

1- معادلة انحدار ص على س هي : ص = أس + ب



ص = س + 0.92



ب) س = جــ ص + د





س = ص + 2.35



عندما ص = 8