الاحصاء تتمة

المتغير العشوائى الطبيعى



هو متغير عشوائى متصل مداه = ح ودالة كثافة احتماله تمثل بالمنحنى الطبيعى (منحنى الجرس أو منحنى كارل جاوس).

خواص المنحنى الطبيعى



* خواص المنحنى الطبيعى



1- المنحنى متماثل حول المستقيم س = m

2- له قمة واحدة عند س = m

3- طرفا المنحنى يقتربان شيئاً فشيئاً من محور السينات دون أن يقطعاه

4- المساحة الواقعة تحت المنحنى الطبيعى وفوق محور السينات تساوى الواحد الصحيح ،(كل جهة من m = 0.5) محور التماثل يقسم المنطقة الواقعة تحت المنحنى وفوق محور السينات إلى قسمين متساويين فى المساحة.



* ملاحظات

أ- 68.26% من المساحة فوق الفتره

[ m - ، m + s].

ب - 95.44% من المساحة فوق الفترة

[ m - 2 ، m +2 s].

ج- 99.74% من المساحة فوق الفترة

[ m - 3 ، m +3 s]

حساب الاحتمالات للمتغير الطبيعي المعياري(القياسي)





* المتغير الطبيعى المعيارى (القياسى): (ص)

هو متغير طبيعى فيه m = صفر ، s = 1



* حساب الاحتمالات للمتغير الطبيعى المعيارى القياسى (ص)

لايجاد نوجد المساحة تحت المنحنى وفوق محور السينات بين س = أ، س = ب مع ملاحظة أن:

1- مساحة المنطقة تحت المنحنى الطبيعى المعيارى وفوق محور السينات تساوى دائماً الواحد الصحيح.

2- قراءات الجدول تبدأ من الصفر.

3- المنحنى متماثل حول المستقيم س = صفر ( محور الصادات ).

والمساحة لكل ص . = المساحة لكل ص . = 0.5.






* تمارين متنوعة
المجموعة الأولى



إذا كان ص متغيراً عشوائياًّ طبيعيا معياريا فأوجد:

1) ل(ص 2)

2) ل(ص -2)

3) ل(ص <1.37)

4) ل(-2.75 < ص < 1.64)

5) ل(-2.17 < ص < -1)

6) ل(-2.34 ص 1.64)


حل المجموعة الأولى



1) ل(ص 2)

= 0.5 - 0.4772

= 0.0228










2) ل(ص -2)

= 0.5 - ل (-2 > ص > صفر)

= 0.5 - 0.4772 = 0.0228






3) ل( ص> 1.37)

= 0.5 + 0.4147 = 0.9147




4) ل(-2.75> ص > 1.64)=ل(0< ص < 2.75)+ل(0< ص <1.64)

= 0.4970 + 0.4495

= 0.9465




5) ل( -2.17 > ص > -1)

= ل(0 < ص < 2.17)- ل(0 < ص < 1)

= 0.4850 - 0.3413

= 0.1437




6) ل(-2.34 ص 2.34)

&shy;= 2ل(. ص 2.34)

= 2× 0.4904

= 0.9808






المجموعة الثانية



إذا كان ص متغير عشوائياًّ طبيعيا معياريا، فأوجد قيمة ك التى تحقق :



1- ل( ص ك) = 0.1256

ل(صفر ص ك) = 0.5 - 0.1256

= 0.3744

ك = 1.15




2- ل( ص > ك) = 0.7184

ل( صفر > ص > -ك) = 0.7184 - 0.5 = 0.2184

ك = -0.58




3- ل( ص > ك) = 0.9045

ل( صفر > ص > ك) = 0.9045 - 0.5 = 0.4045

ك = 1.31






4- ل( -1 > ص > ك) = 0.6187

= ل(صفر < ص < ك) + ل(-1 < ص < صفر) = 0.6187

ل (صفر > ص >ك) = 0.6187- ل( 0> ص > 1)

= 0.6187 - 0.3413

ك = 0.76




5- ل( - 2.3 > ص > ك) = 0.1067

ل ( -2.3 > ص > ك ) = ل ( - ك > ص > 2.3 )

ل( - ك > ص > 2.3) = ل(صفر< ص < 2.3) - ل(صفر< ص < -ك).

ل(صفر< ص <-ك) = 0.4893 - 0.1067

= 0.3826

- ك = 1.19 ك = -1.19



حساب الاحتمالات للمتغير الطبيعى غير المعيارى
(غير القياسى): (س)



يلزم التحويل للمتغير الطبيعى المعيارى (س) باستخدام القاعدة:

ص =



المجموعة الثالثة

1- إذا كان س متغيراً عشوائياًّ طبيعياً متوسطه 0.35 وتباينه 0.25 أوجد:

أ- ل(س 0.1) ب- ل(-0.35 س 0.95).



الحل



أ- ل ( س 0.6)

= ل( ص (

= ل(ص 0.5) = 0.5 - 0.1915

= 0.3085






ب- ل(-0.35 س 0.95)

= ل( < ص < )

= ل(-1.4 > ص> 1.2) = 0.3849 +0.4192

= 0.8041






2-إذا كان س متغيراً عشوائياًّّّّّّّّ طبيعياً متوسطه = 17 وانحرافه المعيارى = 4 أوجد قيمة ك بحيث:

أ- ل( س ك) = 0.9115. ب- ل(س < ك) = 0.3413.



الحل



أ- ل( س ك) = 0.1915

ل (ص ) = 0.1915

ل( ص ) = 0.1915



ل( صفر ص ) = 0.5 - 0.1915

= 0.3085

= 0.87

17 - ك = 3.48.

ك = 13.52




ب- ل( س < ك) = 0.3015

ل( ص > ) = 0.3015

ل(صفر >ص > ) = 0.5 -0.3015= 0.1985

= 0.52

ك = 19.08






3- أوجد قيمة كلاً من

أ- ل( س < m). ب- ل( س< m + 2 )

ج- ل(m - 3 > س > m + )



الحل



أ- ل (س < m) = ل (ص< )

= ل(ص < صفر) = 0.5





ب- ل(س < m + 2 )

= ل (ص < (

=ل( ص < 2 )

= 0.5 - 0.4772 = 0.0228




ج- ل ( m - 3 >س > m + )

= ل( > ص > )

= ل( -3 > ص > 1)

= 0.4987 + 0.3413 = 0.8400






4- إذا كان ارتفاع مياه الأمطار خلال شهر ما يتبع توزيع طبيعى وسطه الحسابى m = 5 سم، تباينه = 9سم2. أوجد احتمال أن يكون ارتفاع الأمطار فى مثل هذا الشهر فى العام التالى :

أ- أكبر من 8 سم. ب- بين 2سم، 11سم.



الحل

m = 5 s = 3



أ- ل( س< = ل(ص > )

= ل( ص < = 0.5 - 0.3413

= 0.1587




ب- ل( 2 > س > 11 )=ل( ص )

=ل ( -1 > ص > 2 )

=0.3413+0.4772=0.8185




5- إذا كان س متغيراً عشوائياًّ طبيعياوسطه الحسابى m = 17، انحرافه المعيارى s = 2

أوجد

أ- ل( 16> س > 20 ) ب- ل( س> 15).



الحل

أ- ل( 16> س > 20 )=ل( <ص < )

= ل(-0.5 > ص >1.5)

= 0.1915 + 0.4332

= 0.6247




ب- ل( س > 15)=ل(ص > )

= ل( ص > -1)

= 0.5 + 0.3413 = 0.8413.




6- إذا كان الدخل الشهرى لمجموعة مكونة من 400 عامل يتبع توزيعا طبيعا وسطه الحسابى 250 جنيها وانحرافه المعيارى 25 جنيها فأوجد عدد العمال الذين يقل دخلهم عن 304 جنيهات.



الحل

s =25 جنيها m = 250 جنيها

العدد الكلى = 400

ل( س < 304)

= ل( ص < )

= ل(ص < 2.16)

= 0.5 + 0.4846 = 0.9846

العدد الكلى = 0.9846 × 400 394 عاملا




7- إذا كان س متغيراً عشوائياًّّ وسطه الحسابى m = 45 وانحرافه المعيارى s = 4 فأوجد قيمة ك إذا كان:

ل( س < ك) = 0.1587

الحل

s = 4 m = 45

ل( س > ك) = 0.1587

ل(ص > (ك - 45) ÷ 4) = 0.1587

ل( صفر > ص > ((ك - 45)÷ 4)) = 0.5 - 0.1587

= 0.3413

ك = 49




8- إذا كانت أوزان الطلاب فى أحدى الكليات تتبع توزيعا طبيعياًًّ وسطه الحسابى m = 68 كجم، تباينه 16 كجم2. فأوجد:

أ- احتمال أن يكون الوزن أكبر من 70 كجم.

ب- النسبة المئوية للطلاب الذين تقع أوزانهم بين 65 كجم، 72 كجم.

ج- عدد الطلاب الذين يزيد وزنهم عن 66 كجم وذلك إذا كان عدد طلاب الكلية = 2000 طالب.





الحل

أ- ل( س < 70)

= 68 ، = 16 = 4

ل(ص> )

= ل(ص < 0.5)

= 0.5 -0.1915= 0.3085






ب- ل(65 > س > 72)=ل( < ص< )

= ل(-0.75 > ص > 1)

= 0.2743 + 0.3413 = 0.6156

النسبة المئوية = 0.6156 × 100%

= 61.56%.






ج- ل( س < 66)

=ل(ص > ) = ل( ص < -0.5)

= 0.5 + 0.1915= 0.6915

العدد = 0.6915 × 2000 = 1383




9- وجد أن أطوال نوع معين من النبات تكون موزعة حسب التوزيع الطبيعى بمتوسط قدره 50 سم وانحراف معيارى s . فإذا علم أن أطوال 10.56% من هذا النبات أقل من 45 سم. فأوجد التباين لأطوال هذا النبات.

الحل

ل (س > 45) = 0.1056=ل(ص< )

ل (ص < ) = 0.1056

ل( ص < ) = 0.1056

ل( صفر > ص > ) = 0.5 -0.1056=0.3944



= 4

s2 = (التباين) =(4)2 = 16




10- إذا كانت درجات الطلاب فى إحدى الامتحانات تتبع توزيعا طبيعيا بمتوسط قدره 61 درجةوانحراف معيارى =12،

فإذا كان 19% يحصلون على تقدير ممتاز. فأوجد أقل درجة لكى يحصل الطالب على تقدير ممتاز.



الحل

نفرض هذه الدرجة = ك

ل(س < ك) = 0.19

ل( ص < ) = 0.19

ل(صفر< ص < )= 0.5 - 0.19

ل(صفر < ص < )= 0.31



ك - 0.61 = 0.88 × 12

ك - 61 = 10.56

ك = 71.56 وهي أقل درجة لكي يحصل الطالب على تقدير ممتاز .








المتغيرات العشوائية



* تعريف: المتغير العشوائى

إذا كان ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ، ح مجموعة الأعداد الحقيقية فإن أي دالة س:ف ¬ ح تسمى متغيراً عشوائياً معرفاً على ف.

مدى المتغير العشوائي

هو مجموعة قيم نواتج ف بواسطة س وهي مجموعة جزئية من ح

*أنواع المتغير العشوائى

1) متقطع (وثاب): مداه مجموعة محدودة أو قابلة للحصر من الأعداد الحقيقية

2) متصل: مداه فترة من الأعداد الحقيقية غير قابلة للحصر( فترة مغلقة أو مفتوحة )





التوزيعات الاحتمالية



* التوزيع الاحتمالي المتقطع

إذا كان س متغيراً عشوائياً مداه المجموعة={س1، س2،……، سن} فإن الدالة د حيث

د(سر)= ل(س = سر) لكل ر = 1 ،2 ،..... ،ن تحدد ما يسمى بالتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع س والذي يعبر عنه بمجموعة الأزواج المرتبة المحددة لبيان الدالة د

ويمكن كتابة التوزيع الاحتمالى على الصورة



مع ملاحظة أن

1) سر صفر. لجميع قيم ر = 1، 2، …..، ن





* التوزيعات الاحتمالية المتصلة

إذا كان س متغيراً عشوائياً متصلاً مداه فترة مفتوحة أو مغلقة فإننا فى هذه الحالة نهتم بحساب احتمال أن يقع المتغير العشوائي المتصل في فترة جزئية من مداه كان يقع في الفترة المغلقة ]أ ، ب [ . و الاحتمال المطلوب

مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى هذه الدالة و فوق محور السينات في الفترة من أ إلى ب .



* تعريف دالة كثافة الاحتمال

إذا كان&shy;&shy; س متغيراً عشوائياً متصلاً فإن الدالة الحقيقية د تسمى بدالة كثافة المتغير العشوائي س إذا كان مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى الدالة وفوق محور السينات في الفترة من أ إلى ب (المنطقة المظللة) وذلك لكل عددين حقيقيين أ ، ب حيث أ ب

ملاحظات



1) منحنى الدالة يقع بكامله أعلى محور السينات

2) المساحة تحت المنحنى وفوق محور السينات بين س =أ، س = ب هى الواحد الصحيح.

ولإيجاد فإننا نحسب المساحة فوق محور السينات

وتحت منحنى الدالة بين س = جـ، س = د



تذكر أن

1) مساحة المثلث = (القاعدة × الارتفاع) ÷ 2

2) مساحة المستطيل = حاصل ضرب بعديه

3) مساحة شبه المنحرف = مجموع القاعدتين المتوازيتين × الارتفاع

الوسط الحسابي (التوقع) - التباين-
الانحراف المعياري للمتغير العشوائي



* قوانين هامة

اذا كان س متغيراً عشوائيَّ متقطعاً يأخذ القيم س1،س2،......سن باحتمالات د(س1)،د(س2)،....د(سن) على الترتيب فإن

1) التوقع (الوسط الحسابى) = m



2) التباين = s2



3) الانحراف المعيارى = s



4) معامل الاختلاف =

ولإيجاد m ، s ،….. نكون جدول من خمسة أعمدة وهى سر، د(سر)، سر . د(سر)، سر2، سر2 .د(سر)



معامل الاختلاف





4) معامل الاختلاف =

ولإيجاد m ، s ،….. نكون جدول من خمسة أعمدة وهى سر، د(سر)، سر . د(سر)، سر2، سر2 .د(سر)




تمارين متنوعة





مثال 1



إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متصلاً، و دالة كثافة الاحتمال له هى:



1- أثبت أن د(سر) دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائى س

2- أوجد ل(س > 2).

الحل

د(1) = . د(5) =

د(2) =

المساحة الكلية = ( + ) × 4 = 1

المنحنى يقع بكامله أعلى محور السينات

د(س) دالة الكثافة للمتغير العشوائى س

ل (س > 2) =


مثال 2



إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متقطعاً توزيعه الاحتمالى يحدد بالدالة د( س) =

حيث: س = -1، 1، 3، 6 أوجد:

1- قيمة ك.

2- التوزيع الاحتمالى.

3- الوسط الحسابى والانحراف المعيارى ومعامل الاختلاف.

الحل

د(-1) = (ك -1) ÷ 17

د(1) = (ك + 1) ÷ 17

د(3) = (ك +3)÷ 17

د(6) = (ك + 6) ÷17

(ك -1 + ك + 1 + ك + 3 + ك + 6) ÷ 17 = 1

(4ك + 9) ÷ 17 = 1

ك = 2

&shy;التوزيع الاحتمالى





معامل الاختلاف =( × 100)= (2.28 ÷ ) ×100 =59.963%
مثال 3



إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متصلاً دالة كثافة الاحتمال له هى:



أوجد:

1- قيمة أ

ب- ل( 1< س < 2)



الحل

د(صفر) = صفر

د(4) = 4أ

المساحة الكلية = (4 × 4أ) ÷ 2 = 1

8أ = 1

أ =

د(1) = أ

د(2) = 2أ

ل( 1 > س > 2) =

=





مثال 4



فى تجربة إلقاء قطعة عملة معدنية 3 مرات وملاحظة الوجه الظاهر، إذا كان المتغير العشوائى يعبر عن "عدد الصور" أوجد:

1- مدى المتغير العشوائى.

2- التوزيع الاحتمالى.

الحل

ف = } (ص،ص،ص)، (ك،ك،ك)، (ص،ص،ك)، (ك،ص،ص)، (ص،ك،ص)، (ك،ك،ص)، (ك،ص،ك)، (ص،ك،ك) {.

المدى = }صفر، 1، 2، 3 {.
التوزيع الاحتمالى






مثال (5)

إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متقطعاً توزيعه الاحتمالى معرفا كالآتى:


إذا كان m = 2.6 أوجد قيمة كلاً من أ، ب

الحل

أ + ب = 1 (1)



2.6 = 2أ + 3 ب (2)

من (1) ب = 1 - أ (3)وبالتعويض من (3) فى(2)

2.6 = 2أ + 3(1 - أ).

2.6 = 3 - أ

أ = 0.4 بالتعويض فى (3) ب = 0.6.
مثال 6



صندوقان بكل منهما ثلاث كرات مرقمة من 1 إلى 3، سحبت كرة عشوائياًّ من كل صندوق ، وعرف المتغير العشوائى بأنه حاصل ضرب العددين الموجودين على الكرتين المسحوبتين. أوجد التوزيع الاحتمالى والتوقع للمتغير العشوائى.



الحل

ف = } (1،1)، (2،1)، (3،1)، (1،2)، (2،2)،(3،2)، (1،3)، (2،3)، (3،3) {.

المدى = }(1، 2، 3، 4، 6، 9) {.


التوزيع الاحتمالى








مثال 7

إذا كان معامل الاختلاف لمتغير ما = 8% وكان الوسط الحسابى له يساوى 75فأوجد انحرافه المعيارى وكذلك تباينه.

الحل

معامل الاختلاف = ( × 100)%

8 =( × 100)%

100 s = 600

s = 6 التباين s2 = 36


مثال 8



متغير عشوائى وسطه الحسابى 125، تباينه 25. أوجد معامل الاختلاف.

الحل

معامل الاختلاف =( × 100)% =( × 100)% = 4 %



مثال 9



إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متقطعاً مداه = }1، 2، 3، 4{ وكان ل( س= 1) = 0.3،

ل(س = 3) = 0.4 ، ل(س = 4) = 0.1

أوجد التوزيع الاحتمالى ثم أحسب الوسط الحسابى والتباين والانحراف المعيارى.

الحل

0.3 + ل(س = 2) + 0.4 + 0.1 = 1

ل(س = 2) = 0.2



= 2.3



= (1)2 × 0.3 + (2)2 × 0.2 + (3)2 × 0.4 +(4)2 × 0.1 - (2.3)2

= 6.3 - 5.29 = 1.01.



الانحراف المعيارى =( × 100)%

= ( × 100)% = 43.7%





مثال 10

إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متصلا دالة كثافة الاحتمال له هى:



أوجد ل (1 < س < 3)

الحل

د(1) =



د (3) =

= ل(1 > س > 3) =

______