منهج الاحصاء

الأحتمال



*التجربة العشوائية

تعريف التجربة العشوائية

التجربة العشوائية هي كل تجربة نستطيع أن نحدد مقدما (أي قبل إجرائها) جميع النواتج الممكنة الحدوث ،ولكن لا يمكن تحديد أي من هذه النواتج سيتحقق فعلاً عند اجراء هذه التجربة

تعريف : فضاء ( فراغ ) العينة أو فضاء النواتج (ف)

هو مجموع جميع النواتج الممكنة الحدوث لتجربة عشوائية.

تعريف الحدث

هو أى مجموعة جزئية من فضاء العينة.



*أنواع الأحداث

1) الحدث المؤكد: هو الحدث الذى لابد أن يقع ويرمز له

بالرمز (ف).

2) الحدث المستحيل: هو الحدث الذى لا يمكن أن يقع ويرمز له

بالرمز (f).

3) الحدث الأولى (البسيط): هو الحدث الذى تتألف المجموعه التى تمثله من عنصر واحد من عناصر فضاء العينة.

4) الحدثان المتنافيان : هما الحدثان اللذان يستحال و قوعهما معاً و وقوع أحدهما يمنع وقوع الآخر .

تعريف

1) إذا كان أ، ب حدثين جزئيين من ف فإن أ، ب حدثان

متنافيان إذا كان أ Ç ب =f .

2) يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذا وإذا فقط كانت

متنافية مثنى مثنى.

ملحوظة

يقال أن حدث ما قد وقع إذا كان ناتج التجربة

العشوائية عنصراً من عناصر المجموعة التي تعبر عن هذا الحدث .



* العمليات على الأحداث

1) الاتحاد (U = أو)

فى الشكل المقابل: الجزء المظلل يمثل أ ب

أ ب يعنى وقوع أحد الحدثين على الأقل.






2) التقاطع (Ç = و)

فى الشكل المقابل: الجزء المظلل يمثل أ Ç ب

أ Ç ب يعنى وقوع الحدثين معاً.





3) الفرق (-)

فى الشكل المقابل: الجزء المظلل يمثل أ- ب يعنى وقوع الحدث أ فقط، وكذلك يعنى وقوع الحدث أ وعدم وقوع الحدث ب.





4) الحدث المكمل

فى الشكل المقابل : الجزء المظلل يمثل المجموعه أ/ ويسمى بالحدث المكمل للحدث أ ، وكذلك يعنى عدم وقوع الحدث أ

أ/= ف - أ




مثال (1)

فى تجربة القاء قطعتى عملة متمايزتين مرة واحدة وملاحظة الوجهين الظاهرين. اكتب فضاء العينة لهذه التجربة وعين الأحداث الآتية:

أ = ظهور كتابة واحدة على الأقل.

ب= ظهور كتابة واحدة على الأكثر.

ج= ظهور صوره واحدة بالضبط.

د= ظهور صورتين على الأكثر.

هـ= عدم ظهور كتابات.

و= ظهور صورتين على الأقل.

الحل

ف = }(ص، ص)، (ص، ك)، (ك، ص)، (ك، ك){

أ = }(ص، ك)، (ك، ص)، (ك، ك) {

ب =} (ص، ك)، (ك، ص)، (ص، ص) {

ج =}(ص، ك)، (ك، ص) {

د = ف

هـ =}(ص،ص) {

و =}(ص،ص) {



مثال 2

فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين وملاحظة الوجه العلوى، عين الأحداث الآتية:

أ = مجموع الوجهين العلويين أكبر من 11

ب = مجموع الوجهين العلويين أقل من 5

ج = مجموع الوجهين العلويين يقبل القسمة على 4

د = الفرق المطلق بين الوجهين العلويين 3

هـ = الحصول على عدد أولى فى أحد الرميتين على الأقل.

و = الحصول على عدد أولى مرة واحدة فقط.

الحل

ف =}(س،ص):س = 1، 2، 3، 4، 5، 6 ، ص = }1 ،2

3، 4، 5، 6{

أ = } (6،6) {

ب = }(1،1) ، (2،1) ، (3،1) ، (1،3) ، (1،2) ، (2،2) }

ج = } (1،3) ، (2،2) ، (6،2) ، (3،1) ، (3،5) ،(4،4) ، (5،3) ، (2،6) ، (6،6) }

د = } (1،4) ، (2،5) ،(3،6) (4،1) ، (5،2) ، (6،3) }

هـ = } (2،1) ،(2،2) ،(2،3) ،(2،4) ،(2،5) ،(2،6) ،(3،1) ،(3،2) ،(3،3) ،(1،2) ،(1،3) ،(1،5) ،(4،2) ،(4،3) ،(4،5) ،(3، 6)،(6،2) ،(6،5) ، (3،4) ،(3،5) ،(3،6) ،(5،1)،(5،2) ،(5،3) ،(5،4) ،(5،5) ،(5،6)}

و = }(2،1) ،(2،4) ،(2،6) ،(3،1)، (3،6) ،(5،1) ،(5،4) ،(5،6) ،(1،2)، (4،2)،(6،2)، (4،3) (1،3)، (4،3)، (6،3)، (1،5)، (4،5)، (6،5){





* مسلمات وقواعد الاحتمال

1) لكل حدث أ כ ف يوجد عدد حقيقى يسمى احتمال الحدث أ و يرمز له

بالرمز ل( أ )



2) ل (ف) = 1 أى أن احتمال الحدث المؤكد = 1

3) ل(f) = صفر أى أن احتمال الحدث المستحيل = صفراً

4) ل(أ U ب) = ل(وقوع أحد الحدثين على الأقل)

= ل(أ) + ل(ب) - ل(أ Ç ب) حيث أ ، ب حدثين من فضاء العينة .

5) وإذا كان أ، ب حدثين متنافيين فإن:

ل( أ U ب) = ل(أ) + ل(ب)

6) ل(أ/) = 1 - ل(أ)

7) ل(أ Ç ب/) = ل(أ) - ل(أ Ç ب)

ل(أ- ب) = ل (أ فقط) = ل(أ) - ل(أ Ç ب)

9) ل(أU ب/)=ل(ب Ç أ/)/=1-ل(ب Ç أ/)=1+ ل(أÇ ب)- ل(ب)

10) إذا كان ف = }أ1، أ2، أ3، …..،أن{

حيث أ1، أ2، أ3، …..،أن أحداث بسيطة متنافية فإن:

ل(أ1) + ل(أ2) +……+ل(أن) = 1

وإذا كان أ1، أ2،……، أن متساوية الاحتمال فإن:

ل(أ1) = ل(أ2) = …… = ل(أن) =

11) ل(أ/ Ç ب/)= 1 - ل(أ U ب)

12) ل(أ/ U ب/) = 1 - ل(أ Ç ب)

13) ل(وقوع أحد الحدثين على الأكثر…) = 1 - ل(أ Ç ب)

14) إذا كان ن(أ) = م، ن(ف) = ن فإن ل(أ) =

15) ل(أ فقط أو ب فقط) = ل(أ U ب)- ل( أ Ç ب)
=ل( أحدالحدثين دون الآخر)



حساب الاحتمال



مثال 3

إذا كان أ،ب حدثين من فضاء العينة لتجربة عشوائية وكان ل(أ) = ،

ل(أ Ç ب) = ، ل(أ U ب)=

أوجد:

1) ل(أ Ç ب-) 2 ) ل(ب-)

الحل

1) ل(أ Ç ب-) = ل(أ) - ل(أ Ç ب)

=

2) ل(أ U ب) = ل(أ) + ل(ب) - ل(أ Ç ب)



ل(ب) =

ل (ت) = 1-ل (ب)

= 1 -



مثال 4

إذا كان أ، ب حدثين متنافيين من فضاء العينة فى تجربة عشوائية ،وكان ل(أ) = 0.26، ل(ب) = 0.33 أوجد:

1) ل(أ/ Ç ب/) 2) ل( Ç ب-)

3) ل(أ Ç ب/)

الحل

الحدثان متنافيان ل(أ Ç ب) = صفر

ل( أ U ب) = 0.26 + 0.33 = 0.59

1) ل(أ U ب/) = 1 - ل(أ Ç ب) = 1 - صفر = 1

2) ل(أ/ Ç ب/) = 1- ل(أ U ب) = 1 - 0.59 = 0.41

3) ل(أ Ç ب/) = ل(أ) - ل(أ Ç ب) = 0.26 - صفر

= 0.26



مثال 5

إذا كان ل(أ) = ل(أ/) ، ل(ب) =

ل(أ Ç ب/) = أوجد كلاً من:

1) ل(أ) 2) ل(أ U ب)



الحل

ل(أ/) = 1 - ل(أ) ل(أ) = 1 - ل(أ/)

ل(أ) = ل(أ/)

2ل(أ) = 1

ل(أ) =

ل(أ Ç ب-) = ل(أ) - ل(أ Ç ب)

- ل (أ ب)

ل(أ Ç ب) =

ل(أ U ب) = ل(أ) + ل(ب) - ل(أ Ç ب)

ل(أ U ب) =



مثال 6

سحبت بطاقة واحدة عشوائياً من بين 40 بطاقة مرقمة من 1إلى 40 أوجد احتمال أن البطاقة المسحوبة تحمل رقماً فردياً:

أولاً: يقبل القسمة على 5

ثانياً: يقبل القسمة على 7

ثالثاً: يقبل القسمة على 5 أو 7

الحل

ن (ف) = 40

أولاً: أ = }5، 15، 25، 35{

ل(أ) =

ثانياً: ب =}7، 21، 35{

ل(ب) =

ج = أ U ب = }5، 15، 25، 35، 7، 21{

ل(ج) =



مثال 7

من مجموعة أرقام العدد 3210، كون عددا مكونا من رقمين مختلفين، وأحسب احتمال أن يكون الحدث عدداً زوجياً أو رقم العشرات فردى.

الحل

ف = }10، 20، 30، 21، 31، 12، 32، 13، 23{

أ = }10، 20، 30، 12، 32{ (العدد الزوجى)

ب = }10، 30، 31، 12، 32، 13}(رقم العشرات فردى)

أ U ب = }10، 13، 30، 12، 32، 20، 31{

ل (أ U ب) =



مثال 8

ألقى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ولوحظ العدد على الوجه العلوى فى كل مرة. اوجد احتمال:

1-أن يكون مجموع العددين أكثر من أو يساوى 10

2-أن يكون أحد العددين 4 والمجموع أقل من 9

3-أن يكون مجموع العددين زوجيا.

الحل

ف = }(1،1)، (2،1)،……، (6،6) {،ن (ف) = 36



1) نفرض أن أ هو حدث أن يكون مجموع العددين أكبر من أو يساوي 10

أ =}(6،4)،(4،6)،(5،5)،(6،5)،(5،6)،(6،6) {

ل(أ) = =

2) نفرض أن ب هو حدث أحد العددين 4 والمجموع أقل من 9

ب =}(1،4)،(2،4)،(3،4)،(4،4)،(4،1)،(4،2)،(4،3) {

ل(ب) =

3) نفرض أن جـ هو حدث أن يكون مجموع العددين زوجيا.

ل(جـ) =



مثال 9

حقيبة بها 35 بطاقة مرقمة من 1 إلى 35 سحبت بطاقة واحدة عشوائياً من الحقيبة، احسب احتمال أن يكون العدد المكتوب على البطاقة المسحوبة:

1) فردياً.

2) زوجيا،ً أو يقبل القسمة على 3

الحل

ن (ف) = 35

1) أ = }1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19، 21، 23، 25، 27، 29، 31، 33، 35{

ل(أ) =

2) ب =} 2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18، 20، 22 ،24، 26، 28، 30، 32، 34، 3، 9، 15، 21، 27، 33{

ل(ب) =

مثال 10

3 أشخاص س، ص، ع يتنافسون فى سباق، فإذا كان احتمال فوز ص = ضعف احتمال فوز س،و احتمال فوز ع ثلاثة أمثال احتمال فوز س. وأن شخصاً واحداً سيفوز فى السباق، اوجد:

1) احتمال فوز س

2) احتمال فوز س أو ع

3) احتمال عدم فوز ع

الحل

نفرض احتمال فوز س = أ، احتمال فوز ص = 2أ، احتمال فوز ع = 3أ

أ + 2أ + 3أ =1 6أ = 1 أ =

ل(س) = أ =

2) ل(س U ع) = ل(س) + ل(ع) = أ + 3أ = 4أ =

3) ل(ع/) = 1 - ل(ع)

ل(ع/)= 1- 3أ = 1 - =