درس الدائرة

الدائرة
نظرية (1):
إذا تقاطعت دائرتان فإنّ خط المركزين ينصف الوترَ المشترك ويكون عمودياً عليه .

المعطيات : 1) دائرتان مركزاهما أ ، ب متقاطعتان في جـ ، د .
2) خط المركزين أ ب يقطع الوتر المشترك جـ د في هـ .

المطلوب : 1) إثبات أن خط المركزين أ ب ينصف الوتر المشترك جـ د .
2) إثبات أن خط المركزين أ ب يكون عمودياً على الوتر المشترك جـ د .
العمل :
ـ نصل أنصاف الأقطار أ جـ ، أ د ، ب جـ ، ب د .

البرهان :
ـ ندرس انطباق المثلثين أ جـ ب ، أ د ب .
ـ أ ب ضلع مشترك
ـ أ جـ = أ د نصفا قطرين في الدائرة التي مركزها أ
ـ ب ج، = ب د نصفا قطرين في الدائرة التي مركزها ب
\ ينطبق المثلثان لتساوي ثلاثة أضلاع .
ونستنتج أنّ الزاوية جـ أ ب = الزاوية د أ ب ....(1)
الآن :
أ هـ يُنَصِّف زاوية الرأس في المثلث أ جـ د المتساوي الساقين إذن أ هـ عمود على جـ د وينصفه (من خواص المثلث المتساوي الساقين)

يمكنك دراسة انطباق المثلثين أ جـ هـ ، أ د هـ
أ هـ ضلع مشترك
أ د = أ جـ نصفا قطرين في الدائرة التي مركزها أ
الزاوية جـ أ ب = الزاوية د أ ب ...... بالبرهان (1)
\ ينطبق المثلثان بضلعين وزاوية محصورة ونستنتج أن جـ هـ = د هـ وهو المطلوب الأول .

المطلوب الثاني :
من انطباق المثلثين أ جـ هـ ، أ د هـ نعرف أن الزاوية جـ هـ أ = د هـ أ
ونلاحظ أن : الزاوية جـ هـ أ + د هـ أ = 180ْ !! (متجاورتان ومتكاملتان)

وبالتالي :
الزاوية جـ هـ أ = الزاوية د هـ أ = 90ْ (قائمة )
أي أن أ هـ عمودي على جـ د وهو المطلوب الثاني .

نظرية (2) :
المستقيم الواصل بين مركز الدائرة ومنتصف وترٍ فيها غيرُ مارٍ بالمركز ، يكونُ عمودياً على ذلك الوتر .

المُعطيات :
س ص وتر في دائرة مركزها ( م ) ، وهو لا يمر في المركز.
هـ منتصف س ص .
المطلوب :
إثبات أن م هـ عمودي على س ص .

العمل :
نصلُ أنصاف الأقطار م س ، م ص .

البرهان :
ندرس انطباق المثلثين م س هـ ، م ص هـ م هـ ضلع مشترك
م س = م ص نصفا قطرين في الدائرة التي مركزها ( م )
س هـ = ص هـ بالغرض (من المعطيات)

إذن ينطبق المثلثان لتساوي ثلاثة أضلاع ونستنتج أن :
الزاوية م هـ س = الزاوية م هـ ص
وبما أنهما متجاورتان ومتكاملتان \ الزاوية م هـ س = الزاوية م هـ ص = 90ْ (قائمة)
\ هـ عمود على س ص (وهو المطلوب)
نظرية (3):
العمود النازل من مركز الدائرة على أي وتر فيها ينصَّفه
المُعطيات : س ص وتر في دائرة مركزها ( م )
المطلوب :
إثبات أن س هـ = ص هـ
( أي أن هـ منتصف س ص )

العمل : نصل أنصاف الأقطار م س , م ص .
البرهان :
ندرس انطباق المثلثين م س هـ , م ص هـ ( قائما الزاوية )
م هـ ضلع مشترك
م س = م ص نصفا قطرين في الدائرة التي مركزها ( م )

الزاوية م هـ س = م هـ و = 90ْ ( قائمة ) بالغرض ( وبالمعطيات )
إذن ينطبق المثلثان بوتر وضلع ( طبعاً ص وزاوية قائمة )

ونستنتج أن : س هـ = ص هـ
هـ منتصف س ص وهو المطلوب .

نظرية (4):
إذا تساوى وتران في دائرة , كان بُعداهما عن مركزها متساويين
المُعطيات :
س ص , ع و وتران متساويان في دائرة مركزها ( م )

المطلوب :
إثبات أن :بعد( س ص ) عن ( م ) يساوي بُعد ( ع و ) عن (م)
بُعد الوتر على مركز الدائرة هو طول العمود النازل من المركز على الوتر
العمل :
ـ ننزل من ( م ) العمودين م ب , م جـ على س ص , ع و .
ـ نصل أنصاف الأقطار م س , م ع
البرهان :
ندرس انطباق المثلثين ص م س , جـ م ع ( قائما الزاوية ).
أولاً : س ب = س ص ( م ب عمود من المركز على الوتر س ص )
ع جـ = ع و ( م حـ عمود من المركز على الوتر ع و )
وحيث أن س ص = ع و بالغرض ( من المعطيات )
\ س ب = ع جـ

ثانياً : في المثلثين ب م س , جـ م ع
م س = م ع نصفا قطرين في الدائرة التي مركزها ( م )
س ب = ع جـ

بالبرهان :
ينطبق المثلثان بوتر وضلع وقائمة , ونستنتج أن م ب = م جـ
\ بُعد الوتر س ص عن م يساوي بُعد الوتر ع و عن م . ( وهو المطلوب
نظرية (5):
الزاوية المحيطية المرسومة على قطر الدائرة تساوي 90ه ْ .
المعُطيات :
س ص قطر في دائرة مركزها م ، الزاوية س أ جـ زاوية محيطية مرسومة على القوس س ب ص

المطلوب :
اثبات أنَ الزاوية س أ ص = 90ه ْ

العمل :
البُرهان :
الزاوية س م ص هي زاوية مركزية مستقيمة وتساوي 180ه ْ .
وبالتالي
الزاوية س م ص
الزاوية س أ ص =

(الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المشتركة في القوس نفسه)
ونستنتج أنَّ :
الزاوية س أ ص = قائمة (90ه ْ)